【题解】P6477 [NOI Online t2 提高组]子序列问题

t1炸了

Posted by ethan-zhou on April 26, 2020

注:本题解看似很长其实是非常详细,实则思路简单粗暴,容易理解

暴力优化

最暴力的做法即为枚举每一对 ,并分别计算其 的值。但这样不知道会慢到哪里去了,所以我们考虑只滚动 的值,并每次计算 的值。

转移

考虑 如何从 转移过来,由 的定义:

不难发现, 的唯一区别在于 中的每个 的值都少考虑了 ,即:

彻底没了)。

所以为了计算 对哪些 有影响,我们可以先预处理出一个数组 ,表示 时, 的最小值(如果找不到这样的数,则 )。

在从 转移到 的过程中, 的消失只对 有影响(会-1),因为 中,都有超过两个与 相等的元素,所以即使 消失了,这些区间内数字的种类数也不会变。

即:

这样,我们就可以通过线段树维护 ,在 的时间内,将每一个 转移成 (区间修改)。

但是这题答案要求的是 的平方和,怎么办?

由前缀和维护平方和

(推导类似数学归纳法)

对于 ,如果 那么

又因为

又因为刚才推出 时, 相同,所以式子中许多项被消掉了(式子中的 变成了

又由于第二部分的结论( 时, )和这部分开头的结论,式子可以再次化简:

这个值可以直接用刚才维护 的线段树来算出。

最终做法

伪代码:

计算出f(1,1)~f(1,n)的值,建线段树
tot=G(1)
ans=0
for l in [1,n]:
	ans+=tot;
	tot+=G(l+1)-G(l) (通过线段树计算)
	将 f(l,l)~f(l,suf[l]-1) 减1

最终代码:(除去线段树极其简短)

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
const long long P=1000000007;
const long long MXN=1e6+5;
long long n;
long long arr[MXN],pool[MXN];
long long suf[MXN],nxt[MXN],diff[MXN];
long long tot=0,ans=0;

//线段树
struct stree{
	long long t[MXN<<2],tag[MXN<<2];
	inline long long ls(long long p){return p<<1;}
	inline long long rs(long long p){return (p<<1)|1;}
	inline void push_up(long long p){t[p]=t[ls(p)]+t[rs(p)];}
	inline void add_tag(long long p,long long l,long long r,long long k){
		tag[p]+=k;
		t[p]+=k*(r-l+1);
	}
	inline void push_down(long long p,long long l,long long r){
		if(!tag[p])return;
		long long mid=(l+r)>>1;
		add_tag(ls(p),l,mid,tag[p]);
		add_tag(rs(p),mid+1,r,tag[p]);
		tag[p]=0;
	}
	void build(long long p,long long l,long long r){
		tag[p]=0;
		if(l==r){
			t[p]=diff[l];
			return;
		}
		long long mid=(l+r)>>1;
		build(ls(p),l,mid);
		build(rs(p),mid+1,r);
		push_up(p);
	}
	void mo(long long p,long long l,long long r,long long al,long long ar,long long k){
		//区间是否合法
		if(al>ar)return;
		if(al<=l && r<=ar){
			add_tag(p,l,r,k);
			return;
		}
		long long mid=(l+r)>>1;
		push_down(p,l,r);
		if(al<=mid)mo(ls(p),l,mid,al,ar,k);
		if(ar>mid)mo(rs(p),mid+1,r,al,ar,k);
		push_up(p);
	}
	long long query(long long p,long long l,long long r,long long al,long long ar){
		//区间是否合法
		if(al>ar)return 0;
		if(al<=l && r<=ar)return t[p];
		long long mid=(l+r)>>1;
		push_down(p,l,r);
		long long res=0;
		if(al<=mid)res+=query(ls(p),l,mid,al,ar);
		if(ar>mid)res+=query(rs(p),mid+1,r,al,ar);
		return res;
	}
	
}tree;
void init(){
	scanf("%lld",&n);
	for(long long i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",arr+i);
		pool[i]=arr[i];
		nxt[i]=n+1;
	}
	//离散化
	sort(pool+1,pool+1+n);
	long long cnt=unique(pool+1,pool+1+n)-pool-1;
	for(long long i=1;i<=n;i++)
		arr[i]=lower_bound(pool+1,pool+1+cnt,arr[i])-pool;
	//计算suf[i]
	for(long long i=n;i>=1;i--){
		suf[i]=nxt[arr[i]];
		nxt[arr[i]]=i;
	}
	//计算f(1,1)~f(1,n)
	memset(pool,0,sizeof(pool));
	for(long long i=1;i<=n;i++){
		diff[i]=diff[i-1];
		diff[i]+=((pool[arr[i]]++)==0);
		tot+=diff[i]*diff[i];
		tot%=P;
	}
	//建树
	tree.build(1,1,n);
}
void solve(){
	for(long long i=1;i<=n;i++){
		ans+=tot;
		ans%=P;
		tot-=(tree.query(1,1,n,i,suf[i]-1)*2)-(suf[i]-i);
		tot%=P;
		tree.mo(1,1,n,i+1,suf[i]-1,-1);
	}
}
int main(){
	/*freopen("sequence.in","r",stdin);
	freopen("sequence.out","w",stdout);*/
	init();
	solve();
	ans%=P;
	if(ans<0)ans+=P;
	printf("%lld",ans);
	
	return 0;
}

易错点

  1. 随时%p,如果不开 long long 小心越界
  2. 计算 的时候如果用类似桶排序的方法要离散化
  3. 线段树中查询和修改操作要判断查询的区间是否合法,如果否,要直接退出(本题解中,为了写得更加方便, 的定义比较特别(如果找不到这样的数,则 ),所以如果不特判可能会re)
  4. 线段树数组大小

作者:@ethan-enhe
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